通信信号分析基础（一）
一、信号时域分析（一）确定信号的时域分析（二）随机信号的时域特征（三）随机信号的特征估计
一、信号时域分析
（一）确定信号的时域分析
确定信号的时域分析主要体现在时域参数的计算上，主要分为一下几个方面，主要包括了信号的均值、功率、能量、相关性等，时域波形主要由时域波形数据体现得到，以离散时间信号x(n)为例： 1.信号的均值
m
=
1
N
∑
n
=
0
N
−
1
x
(
n
)
m= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x(n)
m=N1n=0∑N−1x(n) 信号的均值体现了信号中的直流分量 2.信号的功率
瞬时功率：
P
(
n
)
=
∣
x
(
n
)
2
∣
P(n) = |x(n)^2|
P(n)=∣x(n)2∣ 平均功率：
P
=
lim
N
→
∞
1
2
N
+
1
∑
n
=
−
N
N
∣
x
(
n
)
∣
2
P=\lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} |x(n)|^{2}
P=N→∞lim2N+11n=−N∑N∣x(n)∣2 r_{xy} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)y(t-τ)确定信号的功率按照时间细度划分可分为瞬时功率和平均功率，如果信号的平均功率为有限值，则称为功率信号。 3.信号能量
E
=
∑
n
=
−
∞
∞
∣
x
(
n
)
2
∣
E=\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x(n)^2|
E=n=−∞∑∞∣x(n)2∣ 如果信号能量有限则称为能量信号。实信号的能量为一个外加电压通过1欧姆的电阻时所消耗的能量。 4.信号的相关性 信号的相关性分析反映了信号波形之间的相似程度，是时域分析中的重要方法。设
x
(
t
)
x(t)
x(t)和
y
(
t
)
y(t)
y(t)为两个能量有限信号，其相关函数记为
R
x
y
(
τ
)
R_{xy}(τ)
Rxy(τ),
R
x
y
(
τ
)
=
∫
−
∞
∞
x
(
t
)
y
(
t
−
τ
)
d
t
R_{xy}(τ) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)y(t-τ)dt
Rxy(τ)=∫−∞∞x(t)y(t−τ)dt若
x
(
t
)
x(t)
x(t)和
y
(
t
)
y(t)
y(t)为同一信号，则相关函数为自相关函数，否则为互相关函数，互相关函数反映了两个不同信号之间的相关性，自相关函数反映了信号和其时延后的相关程度。 相关信号有着广泛的应用，例如噪声中的信号检测，信号中隐含周期性的检测。 例：模拟噪声中突发的2fsk信号，通过卷积，检测出信号，从图中可以明显的区分出信号和噪声，并能检测出突发信号的起始位置。（相关代码连接在文章下方） （相关代码连接在文章下方）
（二）随机信号的时域特征
/ 1.随机信号特点 在相同条件下，多次观察一个信号，如果在不同观察的同一时刻该信号的取值是一个随机变量，则称该型号为随机信号，如果每次观察的信号记为
x
t
(
i
=
1
,
.
.
.
,
∞
)
x_{t}(i=1,...,\infty)
xt(i=1,...,∞) （也称为一个样本），则随机信号为每个观察的集合，记为
X
(
t
)
=
x
t
(
t
)
X(t) = x_{t}(t)
X(t)=xt(t)。 如果随机信号
X
(
t
)
X(t)
X(t)d的时间取值为离散的，则这种信号称为随机序列。 随机信号概括起来其含义主要有两点： （1）随机信号
X
(
t
)
X(t)
X(t)没有确定的表达式； （2）随机信号
X
(
t
)
X(t)
X(t)在每个时间的取值是随机变量，服从一定的概率分布。 设
t
t
t的取值为
t
1
,
.
.
.
,
t
m
t_{1},...,t_{m}
t1,...,tm;可以得到
m
m
m个随机变量
X
(
t
1
)
,
.
.
.
,
X
(
t
m
)
X(t_{1}),...,X(t_{m})
X(t1),...,X(tm)因此，随机信号
X
(
t
)
X(t)
X(t)在
t
1
,
.
.
.
,
t
m
t_{1},...,t_{m}
t1,...,tm时刻的取值分别小于等于
x
1
,
.
.
.
,
x
m
x_{1},...,x_{m}
x1,...,xm的概率为：
F
X
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
m
,
t
1
,
.
.
.
,
t
m
)
=
P
{
X
(
t
1
≤
x
1
,
.
.
.
,
X
(
t
m
≤
x
m
)
}
F_{X}(x_{1},x_{2},...,x_{m},t_{1},...,t_{m}) = P\begin{Bmatrix} X(t_{1}≤x_{1},...,X(t_{m}≤x_{m})\end{Bmatrix}
FX(x1,x2,...,xm,t1,...,tm)=P{X(t1≤x1,...,X(tm≤xm)} 该式称为随机信号
X
(
t
)
X(t)
X(t)的
m
m
m维分布函数。显然
m
m
m的取值越大，则时间间隔越小，随机变量越能反映随机信号的变化。但是，在实际中，要想得到某一随机信号高维分布函数是相当困难的。因此，在实际中对随机信号的描述，一般采用较低维（如一维和二维）的分布函数。
2.随机信号的数字特征 描述随机信号除了采用其分布函数以外，更主要的是使用其数字特征，即均值，方差，均方差，相关函数等。 （1）均值（数学期望） 随机信号
X
(
t
)
X(t)
X(t)在某时刻
t
t
t的（瞬间）统计平均值：
m
x
(
t
)
=
E
[
X
(
t
)
]
=
∫
−
∞
∞
x
⋅
f
x
(
x
,
t
)
d
x
m_{x}(t) = E[X(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}x·f_{x}(x,t)dx
mx(t)=E[X(t)]=∫−∞∞x⋅fx(x,t)dx （上式中
f
x
(
x
,
t
)
f_{x}(x,t)
fx(x,t)为随机信号
X
(
t
)
X(t)
X(t)的一维概率谱密度） （2）方差（二阶中心矩） 定义方差：
σ
X
2
(
t
)
=
E
[
∣
X
(
t
)
−
m
x
(
t
)
∣
2
]
=
∫
−
∞
∞
x
⋅
f
x
(
x
,
t
)
d
x
σ_{X}^{2}(t)=E[|X(t)-m_{x}(t)|^2] =\int_{-\infty}^{\infty} x·f_{x} (x,t)dx
σX2(t)=E[∣X(t)−mx(t)∣2]=∫−∞∞x⋅fx(x,t)dx 方差反映了随机信号在
t
t
t时刻偏离其均值的程度。 （3）均方值（二阶原点矩)
D
X
2
(
t
)
=
E
[
X
2
(
t
)
]
=
∫
−
∞
∞
X
2
(
t
)
⋅
f
X
(
x
,
t
)
d
x
D_{X}^{2} (t)=E[X^2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}X^2 (t)·f_{X}(x,t)dx
DX2(t)=E[X2(t)]=∫−∞∞X2(t)⋅fX(x,t)dx 均方值反映了随机信号的平均功率。当均值
m
x
(
t
)
=
0
m_{x}(t)=0
mx(t)=0时，
D
X
2
(
t
)
=
σ
2
(
2
)
D_{X}^{2}(t)={\Largeσ } ^2(2)
DX2(t)=σ2(2)。 （4）自相关函数 为了表示随机信号在两个不同时刻
t
1
t_{1}
t1和
t
2
t_{2}
t2的内在联系，参照确定信号的相关函数的概念，定义随机信号
X
X
X的自相关函数为：
R
x
=
E
[
X
(
t
1
)
⋅
X
(
t
2
)
]
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
x
1
x
2
f
X
(
x
1
,
x
2
;
t
1
,
t
2
)
d
x
1
d
x
2
R_{x}=E[X(t_{1})·X(t_{2})]=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x_{1}x_{2}f_{X}(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2})dx_{1}dx_{2}
Rx=E[X(t1)⋅X(t2)]=∫−∞∞∫−∞∞x1x2fX(x1,x2;t1,t2)dx1dx2 上式中
f
X
(
x
1
,
x
2
;
t
1
,
t
2
)
f_{X}(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2})
fX(x1,x2;t1,t2)为随机信号
X
(
t
)
X(t)
X(t)的二维概率密度，反映了随机信号在两个时刻的关联程度。 （5）协方差函数
C
X
(
t
1
,
t
2
)
=
E
[
(
X
(
t
1
)
−
m
x
(
t
1
)
)
⋅
(
X
(
t
2
)
−
m
x
(
t
2
)
)
]
C_{X}(t_{1},t_{2})=E[(X(t_{1})-m_{x}(t_{1}))·(X(t_{2})-m_{x}(t_{2}))]
CX(t1,t2)=E[(X(t1)−mx(t1))⋅(X(t2)−mx(t2))] 协方差函数反映了随机信号在两个不同时刻
t
1
t_{1}
t1,
t
2
t_{2}
t2在均值附近摆动的程度。
（三）随机信号的特征估计
直接估计随机信号的数字特征是困难的。如果随机信号表现出平稳性，则可以简化随机信号的数字特征的估计。
1.平稳随机信号
如果随机信号X的均值为常数，相关函数仅与时间差（
t
2
−
t
1
t_{2}-t_{1}
t2−t1）有关，即：
E
[
X
(
t
)
]
=
m
x
E[X(t)]=m_{x}
E[X(t)]=mx
R
x
(
t
2
,
t
1
)
=
R
x
(
t
2
−
t
1
)
=
R
x
(
τ
)
R_{x}(t_{2},t_{1})=R_{x}(t_{2}-t_{1})=R_{x}(τ)
Rx(t2,t1)=Rx(t2−t1)=Rx(τ)则称
X
(
t
)
X(t)
X(t)为宽平稳随机信号（或广义平稳）。 一般平稳随机信号即宽平稳随机信号，在实际中往往研究的信号一般设为宽平稳的，从而使得问题大大简化。 平稳随机信号的自相关函数也有着类似的性质:
R
x
(
0
)
≥
∣
R
x
(
τ
)
∣
R_{x}(0)≥|R_{x}(τ)|
Rx(0)≥∣Rx(τ)∣
R
x
(
τ
)
=
R
x
(
−
τ
)
R_{x}(τ)=R_{x}(-τ)
Rx(τ)=Rx(−τ)
R
x
(
0
)
=
E
[
X
2
(
t
)
]
R_{x}(0)=E[X^2(t)]
Rx(0)=E[X2(t)] 2.各态历经随机信号 在实际中，要获得随机信号的统计特性，需要对大量的样本函数进行统计，如果根据一个样本函数即可描绘整个随机信号的特性，则可使得问题大大简化。 设
X
(
n
)
X(n)
X(n)为一（宽）平稳随机信号（用离散信号形式表示），其均值为
m
x
m_{x}
mx,自相关函数为
R
(
m
)
R(m)
R(m),
x
(
n
)
x(n)
x(n)为
X
(
n
)
X(n)
X(n)的一个样本函数，其时间均值为
m
x
=
lim
N
→
∞
1
2
N
+
1
∑
n
=
−
N
N
x
(
n
)
m_{x}= \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}x(n)
mx=N→∞lim2N+11n=−N∑Nx(n) 自相关函数
r
x
(
m
)
=
lim
N
→
∞
1
2
N
+
1
∑
n
=
−
N
N
x
(
n
)
x
(
n
−
m
)
r_{x}(m)=\lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}x(n)x(n-m)
rx(m)=N→∞lim2N+11n=−N∑Nx(n)x(n−m) 如果
m
M
=
m
x
m_{M}=m_{x}
mM=mx,
R
(
m
)
=
r
x
(
m
)
R(m)=r_{x}(m)
R(m)=rx(m)即各态历经信号下，随机信号的统计平均转化为了算数平均。
3.估计的评价准则 完整的描述随机信号的数字特征是件很困难的事，所得的数字特征仅仅是随机信号真值的一种估计，在估计量与真值之间必然存在误差，统计估计所要解决的问题就是如何使误差最小。 随机信号的特征量的估计质量一般用偏差、方差、均方差、有效性、一致性来衡量。 （1）无偏估计 设
x
x
x为某一统计量的真值，
x
′
x'
x′代表多次观测所得到的估值随机变量，则估计误差定义：
B
[
x
′
]
=
x
−
E
[
x
′
]
B[x']=x-E[x']
B[x′]=x−E[x′] 如果
E
[
x
′
]
=
x
E[x']=x
E[x′]=x,即
B
[
x
′
]
=
0
B[x']=0
B[x′]=0,则称
x
′
x'
x′为无偏估计量，即无偏估计量的均值等于真值。 如果
B
[
x
′
]
≠
0
B[x']≠0
B[x′]=0则称为有偏估计，若满足：
lim
N
→
∞
B
[
x
′
]
=
0
即
lim
N
→
∞
E
[
x
′
]
=
x
\lim_{N \to \infty}B[x']=0即\lim_{N \to \infty}E[x']=x
N→∞limB[x′]=0即N→∞limE[x′]=x 这里的N为观测次数或取样点数，则称为渐进无偏估计。 （2）有效估计 如果说用某一种方法得出的估计值
x
′
x'
x′与真值
x
x
x的均方差小于其他估计方法中的均方差，则称次估计为有效估计。设
x
′
x'
x′和
x
′
′
x''
x′′均为
x
x
x的无偏估计量，他们的均方误差为：
D
[
x
′
]
=
E
[
(
x
′
−
E
(
x
′
)
)
2
]
,
D
[
x
′
′
]
=
E
[
(
x
′
′
−
E
(
x
′
′
)
)
2
]
D[x']=E[(x'-E(x'))^2],D[x'']=E[(x''-E(x''))^2]
D[x′]=E[(x′−E(x′))2],D[x′′]=E[(x′′−E(x′′))2] 如果有
D
[
x
′
]
<
D
[
x
′
′
]
D[x'] D[x′] x ′ x' x′比 x ′ ′ x'' x′′有效。 （3）一致估计 如果随着采样点数N的增加，当观测次数或取样点数N趋于无穷时，均方估计误差趋于0，即： lim N → ∞ E [ ( x ′ − x ) 2 ] = 0 \lim_{N \to \infty}E[(x'-x)^2]=0 N→∞limE[(x′−x)2]=0 则称该估计值 x ′ x' x′为 x x x的一致估计。 衡量估值的好坏，应当将无偏性和有效性结合起来，无偏估计只是说明，做多次估计后，每次估计的 x ′ x' x′的平均值 E [ x ′ ] E[x'] E[x′]接近于真实值 x x x，并不能保证每次估计都接近于真实值，有可能很分散；方差小表明，每次估计 x ′ x' x′都接近于平均值 E [ x ′ ] E[x'] E[x′],但不能表明这些估计值都在平均值附近，只有均方差也趋于0才能保证估计值接近于真实值，因此包括了估计偏差和方差的均方估计误差才可以作为衡量估值好坏的重要指标。 源码下载：https://download.csdn.net/download/m0_46479453/88593683